In Brainwash Talks van Human buigen journalisten, schrijvers, wetenschappers, theatermakers en filosofen zich over de grote persoonlijke en maatschappelijke vragen van nu. Deze keer wiskundige David Eelbode met een pleidooi voor fundamentele wiskunde.


We leven in een maatschappij die steeds sneller verandert, en waarin steeds meer menselijke taken worden overgenomen door computers.
Dus zouden we ons de vraag kunnen stellen of wiskunde nog wel een plaats heeft in zo'n maatschappij, en of we niet ook de taak van de wiskundige kunnen automatiseren.

We moeten toestaan dat onderzoekers de grenzen van fundamentele kennis kunnen aftasten, zonder commerciële druk als het ware.

Nu, het minste wat je daarop kan zeggen is dat wiskunde ook in de toekomst nog dezelfde rol zal spelen die ze eigenlijk altijd al gespeeld heeft. Want voor veel wetenschappers is wiskunde een formele taal, die ze gebruiken om hun bevindingen met elkaar te delen.

Een formele taal die niet alleen universeel is — iedereen weet wat de Griekse letter pi betekent — maar ook zeer efficiënt, want om één of andere reden zijn die abstracte symbolen en wiskundige formules uitstekend geschikt om wetenschappelijke wetten samen te vatten en te communiceren. Dus ja, zolang de mens aan wetenschap doet, zal wiskunde op zijn minst deze taak vervullen.

Maar wiskunde is uiteraard meer dan een communicatiemiddel: het is ook een wetenschap op zich, met eigen vragen, eigen doelen en eigen methodes. Nu kun je ze opdelen in twee grote deelgebieden: aan de ene kant heb je de zuivere of de fundamentele wiskunde, en aan de andere kant heb je de toegepaste wiskunde.

Voor de zuivere wiskundige draait het in essentie rond de esthetiek: voor hem of haar is wiskunde een abstract bouwwerk, waar die heel graag een steentje wil aan bijdragen, door een nieuwe stelling te zetten.
De toegepaste wiskundige ziet het eerder pragmatisch, en vraagt zich of op welke manier die bouwstenen kunnen gebruikt worden in een concrete context.

Want wat een toegepaste wiskundige in feite doet is het ontwikkelen van de modellen en methodes waarmee we vat proberen krijgen op onze complexe realiteit. En ik bedoel daarmee het volgende: veel problemen in de exacte wetenschappen (denk aan fysica, chemie en biologie) of de economische en zelfs sociale wetenschappen geven uiteindelijk aanleiding tot vergelijkingen.

Voor wetenschappers zijn die vergelijkingen een soort eindproduct; zeg maar een conclusie na experiment of observatie. Maar voor de wiskundige zijn die vergelijkingen dan net weer de start van zijn of haar verhaal: die moeten namelijk opgelost worden, en dan liefst van al nog zo snel en efficiënt mogelijk.

En hier is de rol van de computer overduidelijk: het is een trouwe bondgenoot. Want uiteraard hebben we het hier niet over bijvoorbeeld de kwadratische vergelijkingen die we allemaal op school leren oplossen. Het gaat hier over systemen van vergelijkingen die zodanig complex zijn dat we net de combinatie van brute rekenkracht door de computer en ingenieuze wiskundige technieken samen nodig hebben om tot een oplossing te komen. Of op zijn minst een benadering van die oplossing.

Dat klinkt misschien slordig en niet-exact wiskundig, maar denk aan een weersvoorspelling. In essentie is dat ook het resultaat van een wiskundig model en een heleboel berekeningen, maar we weten allemaal dat weerberichten niet altijd even perfect zijn. Net vanuit die optiek zal er altijd nood zijn aan toegepaste wiskundigen: want die modellen en technieken kunnen steeds verbeterd worden. Bovendien, in een maatschappij die steeds sneller verandert, zullen er ook steeds nieuwe problemen opduiken, waarvoor dan een model ontwikkeld moet worden.

Rest ons natuurlijk de vraag: wat dan met de fundamentele wiskunde, en wat kunnen computers daar betekenen? Eerst en vooral heb je daar het klassieke argument dat veel toepassingen hun oorsprong vinden in een fundamenteel concept dat werd bedacht door een zuivere wiskundige die absoluut geen toepassingen voor ogen had. Vaak gaat het zelfs over een theorie die ontwikkeld werd in een tijdperk dat er van die toepassing simpelweg nog geen sprake was.

Denk bijvoorbeeld aan de complexe getallen, die fameuze vierkantswortels uit negatieve getallen. Voor veel mensen misschien een vage herinnering aan een schoolse nachtmerrie, maar zonder die complexe getallen is het in essentie onmogelijk om een foto op Instagram met een filter te bewerken. Of denk aan de zogenaamde elliptische krommen: dat zijn wiskundige objecten die leven in het abstracte universum waar algebra en meetkunde elkaar ontmoeten. Ze spelen een cruciale rol in de cryptografie, en zorgen er dus voor dat je op een veilige manier internettransacties kunt uitvoeren.

En alleen al daarom is het belangrijk is dat we de zuivere wiskunde ook in de toekomst een cruciale rol laten spelen: we moeten toestaan dat onderzoekers de grenzen van fundamentele kennis kunnen aftasten — en dan hopelijk ook verleggen — met een soort artistieke vrijheid, zonder commerciële druk als het ware. Want je weet nooit op voorhand wanneer een fundamenteel concept zal reïncarneren als dé oplossing voor een concreet probleem.

© Brainwash

Dan zou je kunnen zeggen: 'Ok, we laten de zuivere wiskundigen timmeren aan de weg.' Maar misschien komt er wel een dag dat één of andere wiskundige vol trots zal aankondigen: 'Beste collega's, het is zover, de wiskunde is af, we hebben nu voor alle stellingen een bewijs.' Om te beginnen: als dat stukje effectief bestaat, dan zal dat niet voor de nabije toekomst zijn. Er zijn namelijk nog veel zogenaamde open problemen, waarvoor we nog steeds geen sluitend antwoord hebben.

De meeste van die problemen zijn bijzonder technisch en complex, maar ik geef je een eenvoudig voorbeeld: het zogenaamde vermoeden van Goldbach. Dat vermoeden zegt dat elk even getal (groter dan twee, dat is een uitzondering) kan geschreven worden als een som van 2 priemgetallen. Neem je favoriete even getal — in mijn geval is dat 42 — dan kan dat geschreven worden als de som van twee priemgetallen: zo is 42 = 23 + 19. Met de computer heeft men dit geverifieerd voor even getallen voorbij een triljoen, dat zijn dus getallen met 18 cijfers, maar is er nog geen enkele uitzondering gevonden.

Alleen is dat géén bewijs, het sterkt alleen onze overtuiging dat het vermoeden wel eens correct zou kunnen zijn. Maar zolang niemand een sluitende logische verklaring vindt, is en blijft het een vermoeden. In het geval van het vermoeden van Goldbach kan een computer ons dus in feite niet helpen, omdat die geen formeel bewijs kan leveren. Maar dat betekent niet dat de computer niet voor doorbraken kán zorgen in de zuivere wiskunde.

Zo zijn er best wel een aantal wiskundige vermoedens die we met theoretisch denkwerk herleid hebben tot het controleren van 'een eindige lijst gevallen'. In principe moet men dus gewoon die gevallen controleren, een taak waarbij de computer ons zeker kan helpen, en aan het eind van die controle kunnen we dan voor eens en altijd concluderen of het vermoeden waar is, of niet.

En dan denk je waarschijnlijk: waar wacht je nog op? Wel, ik noem het 'een eindige lijst', maar dat is een eufemisme: het gaat hierbij meestal over een gigantisch aantal mogelijkheden, waardoor de controle van die lijst zelfs voor de huidige computers onbegonnen werk is. Die zou bijna letterlijk tot het einde der tijden moeten rekenen.

Hier ontstaat dus een boeiende race: aan de ene kant heb je de ingenieurs, fysici en computerwetenschappers die de rekenkracht van computers proberen te optimaliseren (al dan niet met supercomputers of zelfs quantum-computers), en aan de andere kant heb je de zuivere wiskundigen die dan maar proberen om het lijstje te negeren en een andere techniek zoeken.

Maar los van deze technische kwestie, namelijk de rekenkracht van computers, zijn er ook twee principiële kwesties die ik wil toelichten. Om te beginnen heb je de zogenaamde onvolledigheidsstelling van Gödel, die exact doet wat ze aankondigt: Gödel heeft namelijk aangetoond, in een strak omlijnd logisch kader, dat de wiskunde nooit compleet kán zijn. In zekere zin kun je onmogelijk alle stellingen bewijzen.

Dit is op zijn minst een bizar resultaat: de stelling van Gödel is namelijk een wiskundige stelling wiskunde die iets zegt over de wiskunde — zoals de slang die in haar eigen staart bijt. Nu, de details zijn uiteraard bijzonder complex, maar het principe achter de redenering van Gödel is heel eenvoudig: zelfreferentie. Dat is een algemeen principe, dat ook opduikt in bijvoorbeeld de filosofie en de taalkunde. Meestal is het een destructief principe, omdat het leidt tot paradoxen en absurde situaties.

Denk aan de uitspraak 'deze zin is vals': als die uitspraak waar is, dan zegt ze van zichzelf dat ze vals is. Maar als de uitspraak vals is, dan wordt het een ware uitspraak. Da's een paradox. Het geniale aan de stelling van Gödel is dat het geen paradox is: integendeel, hij heeft de kracht van zelfreferentie gebruikt om één van de meest verbluffende stellingen in de geschiedenis van de wiskunde te bewijzen: wiskunde die van zichzelf aantoont dat ze nooit compleet kan zijn.

Minstens even fascinerend is het werk van Alan Turing, die je misschien kent van de film The Imitation Game, en de mensen die hebben voortgebouwd op zijn theorie. Die hebben namelijk aangetoond dat er altijd wiskundige problemen zullen bestaan die je nooit zal kunnen oplossen met een machine die gebruik maakt van een algoritme — zeg maar een computer. Voor alle duidelijkheid: dit heeft absoluut niets te maken met een gebrek aan rekenkracht, het is een principiële kwestie. Wij, mensen, hebben met ons brein wiskundige problemen kunnen verzinnen die zodanig complex zijn dat ze voor eens en altijd buiten de actieradius van computers zullen vallen.

Kort samengevat: computers zullen uiteraard een rol spelen in de wiskunde: voor toegepaste wiskundigen zijn het sowieso bondgenoten, en als we de rekenkracht omhoog krijgen kunnen ze zelfs in de zuivere wiskunde tot doorbraken leiden. Maar tegelijk hebben we op de meest elegante manier die er bestaat — de wiskundige manier — aangetoond dat ze nooit alle problemen van een wiskundige zullen kunnen oplossen. Dus ja, wiskunde overbodig? Ik denk het niet.